WWW.KN.LIB-I.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Различные ресурсы
 

«С.Л. Василенко Фрактальные многоугольники и «золотое» сечение Рассматривая разнообразные фракталы, возникает интуитивное ощущение их красоты, а искусственно ...»

С.Л. Василенко

Фрактальные многоугольники и «золотое» сечение

Рассматривая разнообразные фракталы, возникает интуитивное ощущение их красоты, а

искусственно построенные из них интригуют чрезвычайной похожестью на многие природные

образования. Подобные чувства рождаются и при исследовании различных объектов, в которых

присутствуют элементы гармонических пропорций.

Более того, невольно напрашивается мысль: а не являются ли фракталы и «золотые» сечения

следствием некого общего механизма мироустройства, за которым стоят гармония, согласованность, когерентность и самоподобие.

В этой связи весьма любопытным представляется исследование фрактальных структур в области влияния «золотого» сечения на предмет их устойчивости, изменения форм, визуального восприятия и т.д.

Фрактальный мир природы очень широкий.

И попытки его жесткой привязки к «золотой» пропорции как некому мерилу гармонии, скорее всего, обречены на неудачу.

В то же время уникальность гармонических пропорций, в том числе необычность и исключительность «смого иррационального из всех иррациональных чисел» (в цепных дробях выражается одними единицами), просто не могут не оставить своей след и во фрактальной геометрии природы.

Поэтому становятся понятными устремления некоторых авторов [1] найти признаки «золотых» пропорций во фрактальных размерностях.

Действительно, фрактальные структуры априори имеют дробную размерность, которая чаще всего заключена в интервале [1, 2], и некоторые из них достаточно близки к числу Ф 1,618.



Однако каких-либо явных признаков физической интерпретации в этом обнаружить чаще всего не удается, и можно отнести к простой схожести, – с той или иной погрешностью.

В частности,.

5 +1 ln 9 2 ln 3 = 1+ = 1+ =c ln 5 + ln 7 Здесь больше просматриваются не столько черты фрактальной структуры, сколько сопоставление величины Ф и первых пяти простых чисел 1, 2, 3, 5 и 7 с точность до 5 значащих цифр с относительной погрешностью (1 – с / Ф)100 = 0,007 %. Более того, можно нафантазировать множество отношений типа ln N / ln r, выражающих одну из формул вычисления фрактальной размерности и несущественно отличающихся от числа Ф.

Целью настоящей работы является выявление возможных взаимосвязей между фрактальными структурами, основанными на правильных многоугольниках, и «золотым»

сечением.

Выбор k-угольников обусловлен тем, что на объектах одинаковой природы можно проследить цепочку изменения фрактальных свойств, начина с обычной точки (k = 1 ), и заканчивая окружностью (k ), последовательно пройдя разнообразные геометрические образования.

Типичным представителем такого фрактала является известная салфетка Серпинского [2, с. 20], где в качестве топологической подосновы служит равносторонний треугольник.

Автор не ставит задачу синтеза необычных фракталов, поскольку в достаточном количестве их можно найти в ресурсах Интернет.

Поэтому прилагаемый демонстрационный материал служит всего лишь полезным инструментарием, дополняющим аналитические исследования.

–  –  –

где i = 1 – мнимая единица;

i j v j = R ie k

– один из способов задания комплексных координат вершин равностороннего k-угольника на описанной вокруг него окружности радиусом R с центром в начале координат (для удобства рассмотрения за начало отсчета принята мнимая ось, когда первая вершина соответствует положению часовых стрелок на 12 часов), j = 0, k 1 ;





r = 1 r 1 – коэффициент сжатия (преобразования подобия) – некоторое число, выбираемое геометрическим построением так, чтобы следующая точка ставилась на расстоянии в l r от соответствующей вершины, l – расстояние до нее начальной точки.

Последовательность комплексных чисел, воспроизводящих фрактальную линию, генерируется случайным образом по рекурсивной формуле z n +1 = F ( z n )1+ rnd k, (2)

–  –  –

Следует отметить, что на рис. 1 окружности, хотя в общем случае и пересекаются, фрактальная фигура имеет точку касания двух смежных областей лишь в точке А.

Сами же круги – это условные внешние границы расположения обособленных фрактальных областей, которые изнутри касаются этих окружностей в отдельных k точках, в частности, в точке А.

k = 30 k = 10

–  –  –

И если в Евклидовом пространстве такая пропорциональность лишена физического смысла, то на языке фрактальной геометрии вполне допустима.

( ) ~ Нечто подобное происходит в обратном направлении: при переходе от прямой D2 = D2 = 1 ( ) ~ через «треугольную» фрактальную линию ( D3 1,59 ) к плоскости D4 = D4 = 2. Поэтому не случайны особые свойства треугольника: в отличие от других многоугольников, он – единственная жесткая (несжимаемая) геометрическая фигура, – в смысле попытки изменения внутренних углов при сохранении общего вида конструкции.

Другими словами, с точки зрения фрактальной геометрии в ее единицах измерениях:

– треугольник своей конструктивной жесткостью становится прообразом плоскости;

– пятиугольник, в силу своих особенностей пропорционального разбиения целого на части, первым из всех правильных многоугольников наоборот осуществляет пропорциональное разделение (сопоставление) плоскости линией с фрактальной размерностью D5 = ln 5 ln(1 + ).

Поэтому для восстановления расплывчатого и расщепленного соображения размерности, как «количества пространственных измерений или степени многомерности» [3, c. 30], а также воссоединения двух составляющих, здесь вполне приемлем компромисс в виде «золотой»

середины Ф 1,618 (!?) Для 8-угольника коэффициент сжатия равен r 8 = 1 +, где = 1 + 2 – обобщенное «золотое» сечение для «металлической» пропорции, описываемой квадратным уравнением с целочисленными коэффициентами x 2 2 x 1 = 0.

Коэффициент сжатия 12-угольника составляет r 12 = = 2 + 3, где – обобщенное «золотое» сечение для «металлической» пропорции, которой соответствует квадратное уравнением с иррациональными коэффициентами x 2 2 3 x 1 = 0.

В 16-угольнике коэффициент сжатия равен r 16 = 1 +, где – обобщенное «золотое»

сечение для «металлической» пропорции, описываемой квадратным уравнением с ( ) иррациональными коэффициентами x 2 1 + 2 x 1 = 0.

С ростом k 5 фрактальная размерность Dk имеет общую тенденцию к убыванию (не обязательно монотонно), и в пределе совпадает с топологической размерность для окружности ~ D = 1 : lim Dk = 1.

k Пятиугольник состоит из пяти одинаковых частей, которые подобны целому, но имеют в r раз меньший размер:

sin 3 5 +2 r = 1+ = 1+ = 1+, sin 5 3 поэтому его фрактальная размерность равна D5 = ln 5 ln( + 1) 1,6723.

Примечательно, что шестиугольник (k = 6, r = 3), который имеет более отдаленное отношение к «золотому» сечению, чем правильный пятиугольник, тем не менее, обладает фрактальной размерностью D6 = ln 6 ln 3 1,6309, отличающейся от гармонической пропорции только на 0,8 %.

Во всяком случае, он к ней ближе, чем «усеянный золотом» «пятиугольный фрактал» (в смысле наличия в нем множества «золотых» сечений): D5 D6.

Например, каждый конец пятиугольной звезды представляет собой «золотой» треугольник, стороны которого образуют при вершине угол 36°, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции «золотого» сечения.

В тоже время в расчете фрактальной размерности D5 число Ф присутствует в явном виде, что указывает на непосредственную связь фрактала с «золотым» сечением. То есть визуально определяемая форма фрактала обусловлена наличием «золотых» углов, а его содержание подтверждается дробной размерностью со знаменателем ln( + 1).

Внутренняя граница данной фигуры – пятиугольная снежинка Коха – непрерывная кривая, которая нигде не имеет касательной, а в пределе – бесконечную протяженность.

Десятиугольник характерен тем, что его сторона равна a = 2 sin( 10) = 1.

= 3, а фрактальная размерность Соответственно коэффициент сжатия r = 1 + D10 = ln 10 (3 ln ) 1,5950.

Ближе всего к числу Ф оказывается фрактальная размерность девятиугольника ( )1 1,6208.

ln 1 + 2 sin 10 o D9 = 2 ln 3 Четвертое наблюдение. Чтобы получить фигуру с фрактальной размерностью Ф, исходя из ) уравнения (4) коэффициент сжатия следует положить равным r = k 1.

) Однако если выбрать r r, то получается разрыв линии или фрактальная пыль.

) Неравенство r r приводит к самопересечению фрактальной линии.

Аналогичным образом, решая нелинейное уравнение k = r (k ), где r (k ) – функция от k, определяемая уравнениями (3)–(4), можно показать, что фрактальная размерность в точности равна Ф для 9,06-угольника, если бы таковой реально существовал.

Таким образом, стремление увидеть в конкретной величине фрактальной размерности D число «золотой» пропорции Ф, на физическом уровне не несет особой смысловой нагрузки, свойственной числу Ф в его обычном проявлении.

Выводы.

1. Определены основные признаки фрактальных структур, связанных с «золотым»

сечением.

2. Представлена система интегрируемых функций, задающая совокупность генерирующих комплексных чисел и воспроизводящая фрактальные многоугольники на комплексной плоскости.

3. Получены формулы для построения самоподобных совершенных (без самопересечения) фрактальных кривых, основанных на правильных многоугольниках.

4. Исследована эволюция фрактальных структур, исходя из гипотезы о существовании переходных форм между линией и плоскостью.

5. Определен ряд фрактальных размерностей через «золотое» сечение.

6. Построено множество фрактальных фигур с наличием явных признаков «золотых»

пропорций.

Литература

1. Шипицын Е.В., Попков В.В. Двойственность и золотое сечение в теории фракталов и хаоса // Вестник Международного Института им. А. Богданова. – 2001. – № 6. – http://www.bogdinst.ru/vestnik/v06_01.htm.

2. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы: Учеб. пособ. – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – 128 с.

3. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы: Пер. с англ. – М.: Ин-т компьютерных исследований, 2002. – 656 с.

Похожие работы:

«УТВЕРЖДАЮ Директор НПФ "КонтрАвт" Костерин А. Г. “ “ 2007 г. Модули ввода аналоговых сигналов MDS AI-8UI MDS AI-8UI/D Руководство по эксплуатации ПИМФ.426439.004 РЭ СОГЛАСОВАНО Гл. инженер НПФ "К...»

«ДОЛГОВ АРТЁМ АНАТОЛЬЕВИЧ НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКО-ЛИНГВИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА ОЦЕНКИ ЖИВУЧЕСТИ ИНФОРМАЦИОННЫХ СТРУКТУР Специальность 05.13.17 "Теоретические основы информатики" (технические науки) Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических...»

«Электрический чайник CENTEK CT-1033 Руководство пользователя WWW.CENTEK.RU СОДЕРЖАНИЕ: 1. Меры безопасности 2. Описание прибора 3. Комплектность 4. Порядок работы 5. Уход за прибором 6. Технические характеристики 7. Защита окружающей среды, утилизация прибора 8. Информация о сертификации, гар...»

«А. А. Барсегян М. С. Куприянов В. В. Степаненко И. И. Холод Рекомендовано УМО вузов по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия по специальности 071900 "Информационные системы и технологии" направления 654700 "Информационные системы" Санкт-Петербург "БХВ-Петербург" УДК 681.3...»

«Добро пожаловать! 90-10231S50 304 Надлежащий уход и техническое обслуживание играют важную роль в обеспечении максимальной эффективности, высоких эксплуатационных характеристик и экономичности вашего изделия компании Mercury Product. Прилагаемая Регистрационная карточка владельца это ключ к отдыху для всей семьи, не...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ТЕХНИЧЕСКОМУ РЕГУЛИРОВАНИЮ И МЕТРОЛОГИИ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОСТ Р СТАНДАРТ 53312— РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ УСТРОЙСТВА ЗАЩИТНОГО ОТКЛЮЧЕНИЯ Требования пожарной безопасности. Методы испытаний Издание официальное Москва Стандартинформ ГОСТ Р 53312—2009 Предисловие Цели и принципы стандартизации в...»

«ржО ОТКРЫТОЕ АКЦИОНЕРНОЕ ОБЩЕСТВО "РОССИЙСКИЕ ЖЕЛЕЗНЫЕ ДОРОГИ" (ОАО "РЖД") РАСПОРЯЖЕНИЕ 24 ^ декабря 2013 ^ № 2871р Москва Об утверждении "Концепции комплексной защиты технических средств иобъектов железнодорожной инфраструктуры от воздействия атмосферных икоммутационных перенапряжений и влияния тяговог...»

«ИНСТРУКЦИЯ № 01/2011 по применению средства "АстрадезимR -Эндо" для предстерилизационной очистки изделий медицинского назначения ручным и механизированным способами Инструкция разработана Федеральным Бюджетным учреждением науки НИИДезинфектологии Роспотребнадзора. Авторы: Абрамова И.М., Дьяков В.В., Панкра...»

«УСТРОЙСТВА ЗАЩИТНОГО ОТКЛЮЧЕНИЯ (УЗО) термины и определения УЗО — механический коммутационный аппарат или совокупность элементов, которые при достижении (превышении) дифференциальным током заданного значения при определенных условиях эксплуатации должны вызвать размыкание конт...»








 
2017 www.kn.lib-i.ru - «Бесплатная электронная библиотека - различные ресурсы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.